Bilangan Negatif

          Saat ini kita menggunakan bilangan negatif dalam berbagai konteks sehingga bilangan tersebut tampak sangat alami bagi kita. Itu karena kita sudah diajarkan untuk melihat bilangan sebagai suatu urutan seperti dalam garis bilangan, membentang dari nol di kedua arah positif dan negatif. Ternyata, bilangan negatif sempat menjadi perdebatan panjang diantara para matematikawan. Baru pada awal abad ke-19lah bilangan negatif diterima sebagai bagian dari sistem bilangan dan digunakan secara luas.

A.   Cina

     Di antara orang-orang yang paling awal menggunakan bilangan negatif dalam perhitungan adalah Cina kuno. Bilangan negatif muncul pertama kali dalam buku Jiu Zhang Suan-Shu (Mathematical Art) yaitu pada tahun 220 SM pada masa pemerintahan dinasti Han. Pada bab sembilan dalam buku tersebut disebutkan bahwa mereka menggunakan batang untuk melakukan perhitungan, dengan batang merah untuk bilangan positif dan batang hitam untuk bilangan negatif. Contoh di bawah ini menunjukkan beberapa angka Cina yang direpresentasikan oleh batang.

Angka Cina

 B.    India

     Di India, angka negatif mulai muncul sekitar abad ke -7 dalam Brahma-Sphuta-Siddhanta karya Brahmagupta. Brahmagupta memberikan kontribusi cukup besar dalam perkembagan bilangan negatif dengan menemukan penggunaan bilangan negatif untuk menghasilkan bentuk umum rumus kuadratik dan solusi negatifnya, dan menyatakan aturan yang berkaitan dengan bilangan positif dan negatif. Ia menggunakan istilah “fortune” dan “debts” untuk menyatakan positif dan negatif sebagai berikut;

•      A debt minus zero is a debt.
•      A fortune minus zero is a fortune.
•      Zero minus zero is a zero.
•      A debt subtracted from zero is a fortune.
•      A fortune subtracted from zero is a debt.
•      The product of zero multiplied by a debt or fortune is zero.
•      The product of zero multiplied by zero is zero.
•      The product or quotient of two fortunes is one fortune.
•      The product or quotient of two debts is one fortune.
•      The product or quotient of a debt and a fortune is a debt.
•      The product or quotient of a fortune and a debt is a debt.

     Pada saat itu sistem nilai tempat telah ada di India, dan angka 0 telah digunakan dalam sistem bilangan.Untuk menunjukkan bilangan negative, orang-orang Hindu menempatkan lingkaran kecil atau dot di atas atau di samping nomor untuk menunjukkan bahwa itu adalah negatif.

 C.     Yunani

     Sekitar 300 M, Diophantus menulis Arithmetica, sebuah teks atau buku yang berisi kumpulan  permasalahan yang sekarang kita sebut persamaan linier dan kuadratik . Dalam suatu masalah Diophantus menulis persamaan  4 = 4x + 20 yang akan memberikan hasil negatif yaitu x=-4. Namun dia menyebut hasil ini absurd atau tidak masuk akal.

     Orang-orang Yunani kuno juga menolak setiap solusi untuk persamaan yang memberikan penyelesaian berupa bilangan negatif. Mereka menyebut penyelesaian tersebut "tidak masuk akal" dan "tidak mungkin". Mereka tidak bisa melihat bagaimana jawaban negatif bisa bermakna, karena menurut mereka tidak mungkin untuk memiliki jumlah yang lebih kecil dari kosong (less than noting). Pendapat ini diturunkan kepada matematikawa di Eropa selama lebih dari seribu tahun.

     Orang Yunani kuno tidak benar-benar memberikan perhatian yang serius terhadap masalah bilangan negatif karena matematika mereka dilandasi oleh ide-ide geometris. Panjang, luas, dan volume yang dihasilkan dari konstruksi geometris tentu semua harus positif. 

D.    Arab

     Pada abad ke-9 di Baghdad, Al - Khawarizmi memperkenalkan enam bentuk standar persamaan linier dan kaudrat dan solusi yang dihasilkan menggunakan metode aljabar dan diagram geometris. Dalam metode aljabarnya dia mengakui bahwa ia mengunakan ide-ide dari karya Brahmagupta tentang gagasan bilangan negatif. Namun, model geometrisnya (berdasarkan karya matematikawan Yunani) meyakinkannya bahwa hasil negatif adalah tidak bermakna. Bagaimana bisa diperoleh persegi degan sisi negatif? Dalam sebuah risalah terpisah pada hukum warisan, Al-Khawarizmi merepresentasikan penyelesian negatif sebagai hutang.

     Pada abad ke-10, Abul Wafa menggunakan bilangan negatif untuk merepresentasikan hutang dalam karyanya yang berjudul “what is necessary from the science of arithmetic for scribes and businessmen?” Hal ini tampaknya menjadi satu-satunya bukti di mana bilangan negatif telah ditemukan dalam matematika Arab abad pertengahan.

     Pada abad ke-12, Al-Samawal telah menghasilkan sebuah aljabar dimana ia menyatakan bahwa :

• jika kita kurangi bilangan positif dari ‘empty power’, sisanya adalah bilangan negatif,
• jika kita kurangi bilangan negatif dari ‘empty power’, sisanya adalah bilangan positif,
• hasil kali bilangan negatif oleh bilangan positif adalah negatif, dan dengan bilangan negatif adalah positif .

E.   Eropa

     Bilangan negatif baru mulai muncul di Eropa pada abad ke-15 ketika para sarjana mulai mempelajari dan menerjemahkan teks-teks kuno yang ditemukan kembali dari sumber-sumber Islam dan Bizantium. Hal ini menjadi awal proses dalam membangun ide-ide yang telah hilang sebelumnya. Pemicu utama pengembangan dalam matematika adalah masalah memecahkan persamaan kuadrat dan kubik.

     Sampai abad ke-17, sebagian besar matematikawan Eropa menolak konsep bilangan negatif, meskipun Fibonacci, dalam bukunya yang berjudul Liber Abaci telah menunjukkan solusi negatif dalam masalah keuangan di mana mereka bisa ditafsirkan sebagai debit dan selanjutnya dalam Flos disebut sebagai kerugian. Namun masih dalam abad yang sama, beberapa ahli matematika menemukan bahwa angka negatif cukup bermanfaat. Selama mereka tidak mengkhawatirkan tentang makna bilangan negatif, mereka menemukan bahwa mereka bisa memecahkan beberapa persamaan yang sangat rumit, seperti persamaan kubik dan kuadrat. Terlebih lagi, meskipun dalam perhitungan mungkin  melibatkan bilangan negatif, penyelesainya sering diperoleh dalam bentuk bilangan riil positif seperti yang diharapkan.

     Masih pada abad ke- 17, pemaknaan baru bilangan negatif muncul.  Matematikawan Inggris, John Wallis menjadi salah satu matematikawan yang dihargai berkat pemaknaanya terhadap bilangan negatif dengan menciptakan garis bilangan. Ia adalah orang pertama yang memaknai bilangan negatif sebagai arah (direction) dan menunculkan ide tentang garis bilangan sebagai representasi geomteri dari sistem bilangan.

     Selanjutnya, banyak matematikawan yang secara rutin bekerja menggunakan bilangan negatif dan imajiner dalam teori persamaan dan dalam pengembangan kalkulus. Gottfried Wilhelm Leibniz adalah matematika pertama yang secara sistematis menggunakan bilangan negatif sebagai bagian dari sistem matematika koheren, kalkulus infinitisemal. Kalkulus menunjukkan bagaimana bilangan negatif dibutuhkan dan anggapan bilangan negatif sebagai " nomor tidak masuk akal " dengan cepat memudar.